考虑一元函数f(x)的下列4条性质:①f(x)在[a,b]上连续.②f(x)在[a,b]上可积.③f(x)在[a,b]上可导.④f(x)在[a,b]上存在原函数.以P→Q表示由性质P可推出性质Q,则有( )

admin2014-04-16  23

问题 考虑一元函数f(x)的下列4条性质:①f(x)在[a,b]上连续.②f(x)在[a,b]上可积.③f(x)在[a,b]上可导.④f(x)在[a,b]上存在原函数.以P→Q表示由性质P可推出性质Q,则有(    )

选项 A、①→②→③.
B、③→①→④.
C、①→②→④.
D、④→③→①.

答案B

解析 因可导必连续,连续函数必存在原函数,故B正确.A是不正确的.虽然由①可推出②.但由②(可积)推不出③(可导).例如f(x)=|x|在[一1,1]上可积,且在x=0处不可导.C是不正确的.由②(可积)推不出④(存在原函数)。例如[1.1]上可积,则但f(x)在[一1,1]上不存在原函数.因为如果存在原函数F(x).那么只能是F(x)=|x|+C的形式,而此函数在x=0处不可导,在区间[一1,1]上它没有做原函数的“资格”.(I))是不正确的,因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续).反例如下:它存在原函数可以验证F(x)=f(x),但f(x)在x=0处并不连续,即存在原函数可以不连续.
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