设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2016-01-11 51

问题设矩阵

已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：
正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案由(1)，有[*] 矩阵A的特征多项式为[*] 故A的特征值为λ₁=3，λ₂=一3，λ₃=0，对应的特征向量分别是α₁=(1，0，一1)^T，α₂=(1，一2，1)^T，α₃=(1，1，1)^T．特征向量α₁,α₂,α₃已正交，将α₁,α₂,α₃单位化，得 [*]

解析本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．
由线性方程组Ax=β有无穷多个解，知r(A)=，(A，β)＜3，利用此结论求得α的值．再计算矩阵A的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

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考研数学二

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设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求一个可逆线性变换x=Pz化f为规范形．

设A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，α1，α2，α3，β均是3维列向量，则方程组Ax=β有特解为________．

设矩阵满足CTAC=B.求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=A；

设曲线Y=a与y=㏑(x＞0)在点(x0，y0)处有公切线．求两曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．

设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(1)=f’(1)=0．证明：∫01f(x)dx=1/2∫01x2f"(x)dx；

设随机变量X服从[0，2]上的均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，且X与Y相互独立，令Z=X+Y，求EU和DU．

摆线(a＞0，0≤t≤2π)绕x轴旋转一周曲面的表面积为_______．

设D是由直线x=—1，y=1与曲线y=x3所围成的平面区域，D1是D在第一象限的部分，则

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一台微机性能的好坏，主要取决于

WhenMr.Blackretired,hisson________thebusiness.

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