设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2016-01-11 33

问题设矩阵

已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：
正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

选项

答案由(1)，有[*] 矩阵A的特征多项式为[*] 故A的特征值为λ₁=3，λ₂=一3，λ₃=0，对应的特征向量分别是α₁=(1，0，一1)^T，α₂=(1，一2，1)^T，α₃=(1，1，1)^T．特征向量α₁,α₂,α₃已正交，将α₁,α₂,α₃单位化，得 [*]

解析本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．
由线性方程组Ax=β有无穷多个解，知r(A)=，(A，β)＜3，利用此结论求得α的值．再计算矩阵A的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

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考研数学二

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设X1，X2，…，Xn为来自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，且求Y1的概率密度

设x1∈(0，1)，且(n=1，2，…)．证明：存在，并求其值；

设Z=X+Y，其中随机变量x与Y相互独立，且分布函数分别为X与Z是否相关?说明理由．

设T是连续型随机变量，且P{T≤a}=θ，P{T＞b}=0(0＜θ＜1／2，a＜b)．令若θ(0＜θ＜1／2)为未知参数，利用总体Z的样本值-2，0，0，0，2，2，求θ的矩估计值和最大似然估计值．

设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，则服从的分布为()

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设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0．证明：方程f’(x)=0在(0，1)内至少有一个实根；

设D为由所围区域，计算

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设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，X3～N(3，16)，则E[X1(X1﹢X2﹢X3)]﹦______。

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