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  3. 设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： 正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求： 正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2016-01-11  44
问题 设矩阵已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：
正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
选项
答案由(1)，有[*] 矩阵A的特征多项式为[*] 故A的特征值为λ1=3，λ2=一3，λ3=0，对应的特征向量分别是α1=(1，0，一1)T，α2=(1，一2，1)T，α3=(1，1，1)T．特征向量α1,α2,α3已正交，将α1,α2,α3单位化，得 [*]
解析 本题主要考查非齐次线性方程组有解的判别方法及用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．
由线性方程组Ax=β有无穷多个解，知r(A)=，(A，β)＜3，利用此结论求得α的值．再计算矩阵A的特征值、特征向量，把线性无关的特征向量正交化、单位化，可得正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．
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考研数学二

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