设有曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面π：2x+2y+z+5=0，试求曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面π平行；

admin2016-07-22 20

问题设有曲面S：2x²+4y²+z²=4与平面π：2x+2y+z+5=0，试求
曲面S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面π平行；

选项

答案在曲面S上任取一点P(ξ，ηζ)，记F(x，y，z)=2x²+4y²+z²-4，则 [*] 于是，曲面S在点P处的切平面为 4ξ(x-ξ)+8η(y-η)+2ζ(z-ζ)=0，即2ξx+4ηy+ζz-4=0．因该切平面与平面π平行，即其法向量n₁=2ξi+4ηj+ζk与n=2i+2j+k平行， [*] 把它们代入曲面S的方程得ξ²=1，ξ=±1，于是，所求的点为[*]，且它们所对应的切平面方程分别为2x+2y+z-4=0与2x+2y+z+4=0，它们所对应的法线方程分别为 [*]

解析

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