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  3. 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．

已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．

admin2017-06-26  60
问题 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B＝(k为常数)，且AB＝O，求线性方程组Aχ＝0的通解．
选项
答案由于AB＝O，知B的每一列都是方程组Aχ＝0的解，因此Aχ＝0至少有r(B)个线性无关解，所以Aχ＝0的基础解系至少含r(B)个向量，即3－r(A)≥r(B)，或r(A)≤3－r(B)．又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)＝2，有1≤r(A)≤1，于是r(A)＝1； 当k＝0时，r(B)＝1，有1≤r(A)≤2，于是r(A)＝1或r(A)＝2． 当k≠9时，由AB＝O可得 [*] 由于η1＝(1，2，3)T，η2＝(3，6，k)T线性无关，故η1，η2为Aχ＝0的一个基础解系，于是Aχ＝0的通解为 χ＝c1η1＋c2η2，其中c1，c2为任意常数 当k＝9时，分别就r(A)＝2和r(A)＝1讨论如下： 如果r(A)＝2，则Aχ＝0的基础解系由一个向量构成． 又因为[*]＝0，所以Aχ＝0的通解为 χ＝c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数． 如果r(A)＝1，则Aχ＝0的基础解系由两个向量构成．又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零， 所以Aχ＝0等价于aχ1＋bχ2＋cχ3＝0．不妨设a≠0，则η1＝(－b，a，0)T，η2＝(－c，0，a)T是Aχ＝0的两个线性无关的解，从而η1，η2可作为Aχ＝0的基础解系，故Aχ＝0的通解为 χ＝c1η1＋c2η2，其中c1，c2为任意常数．
解析
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考研数学三

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