积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值

admin2019-07-12  38

问题 积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值

选项 A、与a有关.
B、是与a无关的负数.
C、是与a无关的正数.
D、为零.

答案C

解析 由于被积函数ln(2+cosx).cosx是以2π为周期的偶函数,因此
  原式=∫0(2+cosx)cosxdx=∫πln(2+cosx)cosxdx
    =2∫0πln(2+cosx)cosxdx=2∫0πln(2+cosx)d(sinx)
    =2[sinxln(2+cosx)|0π—∫0πsinxdln(2+cosx)]=[∫0π
又因为在[0,π]上,2+cosx>0,sin2x>0,因此该积分是与a无关的正数.故选C.
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