积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值

admin2019-07-12 69

问题积分∫_a^a+2πcosxln(2+cosx)dx的值

选项 A、与a有关．
B、是与a无关的负数．
C、是与a无关的正数．
D、为零．

答案C

解析由于被积函数ln(2+cosx)．cosx是以2π为周期的偶函数，因此
原式=∫₀^2π(2+cosx)cosxdx=∫_-π^πln(2+cosx)cosxdx
=2∫₀^πln(2+cosx)cosxdx=2∫₀^πln(2+cosx)d(sinx)
=2[sinxln(2+cosx)｜₀^π—∫₀^πsinxdln(2+cosx)]=[∫₀^π

．
又因为在[0，π]上，2+cosx＞0，sin²x＞0，因此该积分是与a无关的正数．故选C．

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