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  3. 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx． (*)

设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx． (*)

admin2021-11-09  27
问题 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．    (*)
选项
答案把证明定积分不等式 (∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx (*) 转化为证明重积分不等式． 引入区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b} (*)式左端=∫abf(x)g(x)dx.∫abf(y)g(y)dy =[*][f(x)g(y).f(y)g(x)]dxdy≤[*][f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)]dxdy =[*]f2(x)g2(y)dxdy+[*]f2(y)g2(x)dxdy =[*]∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy+[*]∫ab f2(y)dy∫abg2(x)dx =∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy=(*)式右端．
解析
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考研数学二

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