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设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx． (*)
设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明： [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx． (*)
admin
2021-11-09
75
问题
设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：
[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx． (*)
选项
答案
把证明定积分不等式 (∫
a
b
f(x)g(x)dx)
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx (*) 转化为证明重积分不等式． 引入区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b} (*)式左端=∫
a
b
f(x)g(x)dx.∫
a
b
f(y)g(y)dy =[*][f(x)g(y).f(y)g(x)]dxdy≤[*][f
2
(x)g
2
(y)+f
2
(y)g
2
(x)]dxdy =[*]f
2
(x)g
2
(y)dxdy+[*]f
2
(y)g
2
(x)dxdy =[*]∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(y)dy+[*]∫
a
b
f
2
(y)dy∫
a
b
g
2
(x)dx =∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(y)dy=(*)式右端．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Hly4777K
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考研数学二
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