2. 考研
  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且微分方程 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0 为全微分方程． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求该全微分方程的通解．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且微分方程 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0 为全微分方程． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求该全微分方程的通解．

admin2016-04-14  53
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且微分方程
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0
为全微分方程．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)求该全微分方程的通解．
选项
答案(Ⅰ)由题设知，存在二元函数u(x，y)，使 [*] 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有 [*] 即有x(1+2y)－f(x)=f’(x)+2xy， f’(x)+f(x)=x． 连同已知f(0)=0，于是可求得f(x)=x一1+e－x． (Ⅱ)由(Ⅰ)有 du=(xy2+y—ye－x)dx+(x一1+e－x+x2y)dy． 求u(x，y)有多种方法． 凑微分法． (xy2+y－ye－x)dx+(x—1+e－x+x－1y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(－ye－xdx+e－xdy)－dy [*] 所以该全微分方程的通解为 [*](xy)2+xy+ye－x一y=C，其中C为任意常数．
解析
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考研数学一

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