设f(x)在[a,b]上二阶可导且f’’(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.

admin2017-04-11  21

问题 设f(x)在[a,b]上二阶可导且f’’(x)>0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数.

选项

答案对任意的x1,x2∈(a,b)且x1≠x2,取x0=[*],由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2,其中ξ介于x0与x之间. 因为f’’(x)>0,所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0),“=”成立当且仅当“x=x0”, 从而[*] 两式相加得f(x0)<[*] 由凹函数的定义,f(x)在(a,b)内为凹函数.

解析
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