设A=。 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

admin2021-01-25  35

问题 设A=
(Ⅰ)求满足Aξ21,A2ξ31的所有向量ξ2,ξ3
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

选项

答案(Ⅰ)解方程Aξ21, [*] r(A)=2,故有一个自由变量,令x3=2,由Ax=0解得,x2=一1,x1=1。 求特解,令x1=x2=0,得x3=1。故ξ2=(0,0,1)T+k1(1,一1,2)T,其中k1为任意常数。 解方程Aξ31, [*] 故有两个自由变量,令x2=1,x3=0,由A2x=0得x1=一1。 令x2=0,x3=1,由A2x=0得x1=0。 且特解η2=[*],故 ξ3=k2[*],其中k2,k3为任意常数。 (Ⅱ)方法一:由于 |ξ1,ξ2,ξ3|=[*]≠0, 故ξ1,ξ2,ξ3线性无关。 方法二:由题设可得Aξ1=0。设存在数k1,k2,k3,使得 k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0, ① 在等式①的两端左乘A,得k22+k33=0,即 k2ξ1+k33=0, ② 在等式②的两端再左乘A,得k33=0,即k3ξ1=0。 由于ξ1≠0,所以只能是k3=0,代入②式,得k2ξ1=0,故k2=0。将k2=k3=0代人①式,可得k1=0,从而ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

解析
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