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设A=。 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。
设A=。 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。
admin
2021-01-25
59
问题
设A=
。
(Ⅰ)求满足Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
,ξ
3
;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ
2
,ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关。
选项
答案
(Ⅰ)解方程Aξ
2
=ξ
1
, [*] r(A)=2,故有一个自由变量,令x
3
=2,由Ax=0解得,x
2
=一1,x
1
=1。 求特解,令x
1
=x
2
=0,得x
3
=1。故ξ
2
=(0,0,1)
T
+k
1
(1,一1,2)
T
,其中k
1
为任意常数。 解方程Aξ
3
=ξ
1
, [*] 故有两个自由变量,令x
2
=1,x
3
=0,由A
2
x=0得x
1
=一1。 令x
2
=0,x
3
=1,由A
2
x=0得x
1
=0。 且特解η
2
=[*],故 ξ
3
=k
2
[*],其中k
2
,k
3
为任意常数。 (Ⅱ)方法一:由于 |ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
|=[*]≠0, 故ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关。 方法二:由题设可得Aξ
1
=0。设存在数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
=0, ① 在等式①的两端左乘A,得k
2
Aξ
2
+k
3
Aξ
3
=0,即 k
2
ξ
1
+k
3
Aξ
3
=0, ② 在等式②的两端再左乘A,得k
3
Aξ
3
=0,即k
3
ξ
1
=0。 由于ξ
1
≠0,所以只能是k
3
=0,代入②式,得k
2
ξ
1
=0,故k
2
=0。将k
2
=k
3
=0代人①式,可得k
1
=0,从而ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关。
解析
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考研数学三
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