2. 考研
  3. 设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： (1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]； (2)

设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明： (1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]； (2)

admin2018-05-22  48
问题 设f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：
(1)对(-1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；
(2)
选项
答案(1)对任意x∈(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1． 因为f’’(x)∈C(-1，1)且f’’(x)≠0，所以f’’(x)在(-1，1)内保号，不妨设f’’(x)＞0，则 f’(x)在(-1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的． (2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x2，其中ξ介于0与x之间， 而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，所以有 [*] 令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得[*]
解析
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考研数学二

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