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设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f’’(x)≠0.证明: (1)对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]; (2)
设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f’’(x)≠0.证明: (1)对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]; (2)
admin
2018-05-22
47
问题
设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f’’(x)≠0.证明:
(1)对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x];
(2)
选项
答案
(1)对任意x∈(-1,1),根据微分中值定理,得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0<θ(x)<1. 因为f’’(x)∈C(-1,1)且f’’(x)≠0,所以f’’(x)在(-1,1)内保号,不妨设f’’(x)>0,则 f’(x)在(-1,1)内单调增加,又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的. (2)由泰勒公式,得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x
2
,其中ξ介于0与x之间, 而f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],所以有 [*] 令x→0,再由二阶导数的连续性及非零性,得[*]
解析
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考研数学二
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