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已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex. (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.
已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex. (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)∫0xf(-t2)dt的拐点.
admin
2014-01-26
90
问题
已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e
x
.
(1)求f(x)的表达式;
(2)求曲线y=f(x
2
)∫
0
x
f(-t
2
)dt的拐点.
选项
答案
(1)齐次线性微分方程f"(x)+f’(x)-2f(x)=0的特征方程为:r
2
+r-2=0,特征根为:r
1
=1,r
2
=-2,因此齐次微分方程的通解为:f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
. 于是f’(x)=C
1
e
x
-2C
2
e
-2x
,f(x)=C
1
e
x
+4C
2
e
-2x
, 代入f"(x)+f(x)=2e
x
得2C
1
e
x
+2C
1
e
-2x
=2e
x
,从而C
1
=1,C
2
=0, 故f(x)=e
x
. (2)因曲线方程为y=f(x
2
)∫
0
x
f(-t
2
)dt=e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt,所以 y’=2xe
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt+1, . y"=2e
x
2
∫
0
x
edt+4xee
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt+2x =2(1+2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
-t
2
dt+2x. 显然,y"(0)=0,且当x>0时,y">0,当x<0时,y"<0.故所求拐点为(0,0).
解析
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考研数学二
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