2. 考研
  3. 已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex． (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．

已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex． (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．

admin2014-01-26  65
问题 已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．
选项
答案(1)齐次线性微分方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0的特征方程为：r2＋r－2＝0，特征根为：r1＝1，r2＝－2，因此齐次微分方程的通解为：f(x)＝C1ex＋C2e－2x． 于是f’(x)＝C1ex－2C2e－2x，f(x)＝C1ex＋4C2e－2x， 代入f"(x)＋f(x)＝2ex得2C1ex＋2C1e－2x＝2ex，从而C1＝1，C2＝0， 故f(x)＝ex． (2)因曲线方程为y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt＝ex2∫0xe－t2dt，所以 y’＝2xex2∫0xe－t2dt＋1， ． y"＝2ex2∫0xedt＋4xeex2∫0xe－t2dt＋2x ＝2(1＋2x2)ex2∫0xe－t2dt＋2x． 显然，y"(0)＝0，且当x＞0时，y"＞0，当x＜0时，y"＜0．故所求拐点为(0，0)．
解析
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考研数学二

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