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已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex． (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．
已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2ex． (1)求f(x)的表达式； (2)求曲线y＝f(x2)∫0xf(－t2)dt的拐点．
admin
2014-01-26
71
问题
已知函数f(x)满足方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0及f"(x)＋f(x)＝2e
x
．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求曲线y＝f(x
2
)∫
0
x
f(－t
2
)dt的拐点．
选项
答案
(1)齐次线性微分方程f"(x)＋f’(x)－2f(x)＝0的特征方程为：r
2
＋r－2＝0，特征根为：r
1
＝1，r
2
＝－2，因此齐次微分方程的通解为：f(x)＝C
1
e
x
＋C
2
e
－2x
． 于是f’(x)＝C
1
e
x
－2C
2
e
－2x
，f(x)＝C
1
e
x
＋4C
2
e
－2x
， 代入f"(x)＋f(x)＝2e
x
得2C
1
e
x
＋2C
1
e
－2x
＝2e
x
，从而C
1
＝1，C
2
＝0， 故f(x)＝e
x
． (2)因曲线方程为y＝f(x
2
)∫
0
x
f(－t
2
)dt＝e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt，所以 y’＝2xe
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt＋1， ． y"＝2e
x
2
∫
0
x
edt＋4xee
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt＋2x ＝2(1＋2x
2
)e
x
2
∫
0
x
e
－t
2
dt＋2x． 显然，y"(0)＝0，且当x＞0时，y"＞0，当x＜0时，y"＜0．故所求拐点为(0，0)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Qm34777K
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考研数学二
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