2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

admin2017-04-30  49
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．
选项
答案axex
解析 由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．
    将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得
    f(x)=f(x)+f(0)ex，
所以f(0)=0．

令△x→0，得
    f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，
所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得
    f(x)=ex[∫aex．e-xdx+C]=ex(sx+C)．
因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axex，如上所填.
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考研数学二

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