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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0,证明:存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η;对任意的k∈(-∞,+∞),存在∈∈(0,η),使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0,证明:存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η;对任意的k∈(-∞,+∞),存在∈∈(0,η),使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2022-10-09
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0,证明:存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η;对任意的k∈(-∞,+∞),存在∈∈(0,η),使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
令φ(x)=f(x)-x,φ(x)在[0,1]上连续,φ(1/2)-1/2>0,φ(1)=-1<0,由零点定理,存在η∈(1/2,1),使得φ(η)=0,即f(η)=η.设F(x)=e
-kx
φ(x),显然F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且F(0)=F(η)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,η),使得F’(ξ)=0,整理得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
解析
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考研数学三
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