2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f′+(a)＞0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)＜0.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f′+(a)＞0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)＜0.

admin2022-08-19  22
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且f′+(a)＞0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)＜0.
选项
答案因为[*]，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有[f(x)-f(a)]/(x-a)＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0， 由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(a，b)，使得 f′(ξ1)=[f(c)-f(a)]/(c-a)＞0，f′(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)＜0. 再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得 f″(ξ)=[f′(ξ2)-f′(ξ1)]/(ξ2-ξ1)＜0.
解析
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考研数学三

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