2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x，求f(x)．

设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x，求f(x)．

admin2019-09-04  33
问题 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x，求f(x)．
选项
答案因为∫0xtf(x-t)dt[*]x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt， 所以∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x可化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=x， 上式两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1， 两边再求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=C-x， 因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．
解析
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考研数学三

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