设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x，求f(x)．

admin2019-09-04 45

问题设f(x)二阶可导，且∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x-t)dt=x，求f(x)．

选项

答案因为∫₀^xtf(x-t)dt[*]x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du=x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt，所以∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x-t)dt=x可化为∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt=x，上式两边求导得f(x)+∫₀^xf(t)dt=1，两边再求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=C^-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e^-x．

解析

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