设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明: (1)若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数; (2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.

admin2019-09-04  65

问题 设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明:
    (1)若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;
    (2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.

选项

答案(1)设f(-x)=f(x), 因为F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt[*]∫0x(-x+2u)f(-u)(-du) =∫0x(x-2u)f(u)du=F(x), 所以F(x)为偶函数. (2)F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt, F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)],其中ξ介于0与x之间, 当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 从而F(x)单调不减.

解析
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