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设总体X在区间(0,θ)内服从均匀分布,X1,X2,X3是来自总体的简单随机样本.证明:{Xi}与{Xi}都是参数θ的无偏估计量,试比较其有效性.
设总体X在区间(0,θ)内服从均匀分布,X1,X2,X3是来自总体的简单随机样本.证明:{Xi}与{Xi}都是参数θ的无偏估计量,试比较其有效性.
admin
2019-11-25
58
问题
设总体X在区间(0,θ)内服从均匀分布,X
1
,X
2
,X
3
是来自总体的简单随机样本.证明:
{X
i
}与
{X
i
}都是参数θ的无偏估计量,试比较其有效性.
选项
答案
因为总体X在区间(0,Θ)内服从均匀分布,所以分布函数为 F(x)=[*] 令U=[*]{X
i
),V=[*]{X
i
),则 F
U
=P(U≤u)=P(max{X
1
,X
2
,X
3
}≤u)=P(X
1
≤u,X
2
≤u,X
3
≤u) =P(X
1
≤u)P(X
2
≤u)P(X
3
≤u)=[*] F
V
(v)=P(V≤v)=P(min{X
1
,X
2
,X
3
}≤v)=1-P(min{X
1
,X
2
,X
3
}>v) =1-P(X
1
>v,X
2
>v,X
3
>v)=1-P(X
1
>v)P(X
2
>v)P(X
3
>v) =1-[1-P(X
1
≤v)][1-P(X
2
≤v)][1-P(X
3
≤v)] =[*] 则U,V的密度函数分别为f
U
(x)=[*]f
V
(x)=[*] 因为E([*]U)=[*]E(U)=[*]x×[*]dx=θ, E(4V)=4E(V)×4[*]x×[*](1-[*])
2
dx=θ, 所以[*]{X
i
}与[*]{X
i
)都是参数θ的无偏估计量. D(U)=E(U)
2
-[E(U)]
2
=[*]x
2
×[*]dx-([*]θ)
2
=[*], D(V)=E(V)
2
-[E(V)]
2
=[*]x
2
×[*](1-[*])
2
dx-([*]θ)
2
=[*], D([*])=D([*]U)=[*],D([*])=D(4V)=16×[*], 因为D([*])<D([*]),所以[*]更有效.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/n1D4777K
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考研数学三
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