2. 考研
  3. 设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：{Xi}与{Xi}都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．

设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：{Xi}与{Xi}都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．

admin2019-11-25  56
问题 设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：{Xi}与{Xi}都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．
选项
答案因为总体X在区间(0，Θ)内服从均匀分布，所以分布函数为 F(x)＝[*] 令U＝[*]{Xi)，V＝[*]{Xi)，则 FU＝P(U≤u)＝P(max{X1，X2，X3}≤u)＝P(X1≤u，X2≤u，X3≤u) ＝P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)＝[*] FV(v)＝P(V≤v)＝P(min{X1，X2，X3}≤v)＝1－P(min{X1，X2，X3}＞v) ＝1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)＝1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v) ＝1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)] ＝[*] 则U，V的密度函数分别为fU(x)＝[*]fV(x)＝[*] 因为E([*]U)＝[*]E(U)＝[*]x×[*]dx＝θ， E(4V)＝4E(V)×4[*]x×[*](1－[*])2dx＝θ， 所以[*]{Xi}与[*]{Xi)都是参数θ的无偏估计量． D(U)＝E(U)2－[E(U)]2＝[*]x2×[*]dx－([*]θ)2＝[*]， D(V)＝E(V)2－[E(V)]2＝[*]x2×[*](1－[*])2dx－([*]θ)2＝[*]， D([*])＝D([*]U)＝[*]，D([*])＝D(4V)＝16×[*]， 因为D([*])＜D([*])，所以[*]更有效．
解析
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考研数学三

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