设A是m×n矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．

admin2019-07-19 55

问题设A是m×n矩阵，r(A)=n，证明A^TA是正定矩阵．

选项

答案由(A^T)^T=A^T(A^T)^T=A^TA，知A^TA是对称矩阵．又r(A)=n，[*]α≠0，恒有Aβ≠0．从而α^T(A^TA)α=(Aα)^T(Aα)=‖Aα‖²＞0．故x^T(A^TA)x是正定二次型，从而A^TA正定．

解析

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考研数学一

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