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(13年)设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f/"(η)+f’(η)=1.
(13年)设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f/"(η)+f’(η)=1.
admin
2019-06-09
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问题
(13年)设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数,且f(1)=1.证明:
(I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f/"(η)+f’(η)=1.
选项
答案
(I)因为f(x)是区间[一1,1]上的奇函数,所以f(0)=0. 因为函数f(x)在区间[0,1]上可导,根据微分中值定理,存在ξ∈(0,1),使得 f(1)一f(0)=f’(ξ) 又因为f(1)=1,所以f’(ξ)=1. (Ⅱ)因为f(x)是奇函数,所以f’(x)是偶函数,故f’(一ξ)=f’(ξ)=1. 令F(x)=[f’(x)一1]e
x
,则F(x)可导,且F(一ξ)=F(ξ)=0. 根据罗尔定理,存在η∈(一ξ,ξ)[*](一1,1),使得F’(η)=0. 由F’(η)=[f"(η)+f’(η)一1]e
η
且e
η
≠0,得f"(η)+f’(η)=1.
解析
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考研数学二
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