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设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ1=1,λ2=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=( )
设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ1=1,λ2=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=( )
admin
2019-01-25
26
问题
设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ
1
=1,λ
2
=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=( )
选项
A、36。
B、-36。
C、90。
D、-90。
答案
D
解析
本题考查相似矩阵的性质。首先结合|A-3E|=0可得出矩阵A和B的所有特征值,然后利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质计算|B-2AB|。
根据|A-3E|=0可知λ=3是矩阵A的另一个特征值,因此A的所有特征值为1,2,3。已知A和B相似,因此B的特征值也是1,2,3。
E-2A的特征值分别为1-2×1=-1,1-2×2=-3,1-2×3=-5。因此
|E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15,|B|=λ
1
λ
2
λ
3
=1×2×3=6。
故|B-2AB|=|(E-2A)B|=|E-2A|·|B|=-15×6=-90。故本题选D。
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考研数学三
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