设A，B为3阶可逆矩阵，且｜A－3E｜＝0，λ1＝1，λ2＝2是矩阵A的两个特征值，则｜B-2AB｜＝( )

admin2019-01-25 66

问题设A，B为3阶可逆矩阵，且｜A－3E｜＝0，λ₁＝1，λ₂＝2是矩阵A的两个特征值，则｜B-2AB｜＝( )

选项 A、36。
B、－36。
C、90。
D、－90。

答案D

解析本题考查相似矩阵的性质。首先结合｜A－3E｜＝0可得出矩阵A和B的所有特征值，然后利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质计算｜B－2AB｜。
根据｜A-3E｜＝0可知λ＝3是矩阵A的另一个特征值，因此A的所有特征值为1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。
E－2A的特征值分别为1－2×1＝－1，1－2×2＝－3，1－2×3＝－5。因此
｜E-2A｜＝(－1)×(－3)×(－5)＝－15，｜B｜＝λ₁λ₂λ₃＝1×2×3＝6。
故｜B－2AB｜＝｜(E－2A)B｜＝｜E－2A｜·｜B｜＝－15×6＝－90。故本题选D。

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考研数学三

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