设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ1=1,λ2=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=( )

admin2019-01-25  34

问题 设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ1=1,λ2=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=(  )

选项 A、36。
B、-36。
C、90。
D、-90。

答案D

解析 本题考查相似矩阵的性质。首先结合|A-3E|=0可得出矩阵A和B的所有特征值,然后利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质计算|B-2AB|。
根据|A-3E|=0可知λ=3是矩阵A的另一个特征值,因此A的所有特征值为1,2,3。已知A和B相似,因此B的特征值也是1,2,3。
    E-2A的特征值分别为1-2×1=-1,1-2×2=-3,1-2×3=-5。因此
    |E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15,|B|=λ1λ2λ3=1×2×3=6。
    故|B-2AB|=|(E-2A)B|=|E-2A|·|B|=-15×6=-90。故本题选D。
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