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设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,且g(χ)≠0(χ∈[a,b]),g〞(χ)≠0(a<χ<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得.
设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,且g(χ)≠0(χ∈[a,b]),g〞(χ)≠0(a<χ<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得.
admin
2019-06-28
57
问题
设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,且g(χ)≠0(χ∈[a,b]),g〞(χ)≠0(a<χ<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得
.
选项
答案
设f′
+
(a)>0,f′
-
(b)>0, 由f′
+
(a)>0,存在χ
1
∈(a,b),使得f(χ
1
)>f(a)=0; 由f′
-
(6)>0,存在χ
2
∈(a,b),使得f(χ
2
)<f(b)=0, 因为f(χ
1
)f(χ
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令h(χ)=[*],显然h(χ)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0, 存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, [*] 令φ(χ)=f′(χ)g(χ)-f(χ)g′(χ),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=f〞(χ)g(χ)-f(χ)g〞(χ), 所以[*]
解析
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考研数学二
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