2. 考研
  3. 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

admin2019-06-28  55
问题 设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．
选项
答案设f′＋(a)＞0，f′－(b)＞0， 由f′＋(a)＞0，存在χ1∈(a，b)，使得f(χ1)＞f(a)＝0； 由f′－(6)＞0，存在χ2∈(a，b)，使得f(χ2)＜f(b)＝0， 因为f(χ1)f(χ2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0． 令h(χ)＝[*]，显然h(χ)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0， 存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)＝h′(ξ2)＝0， [*] 令φ(χ)＝f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝f〞(χ)g(χ)－f(χ)g〞(χ)， 所以[*]
解析
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考研数学二

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