设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,且g(χ)≠0(χ∈[a,b]),g〞(χ)≠0(a<χ<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得.

admin2019-06-28  33

问题 设f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,且g(χ)≠0(χ∈[a,b]),g〞(χ)≠0(a<χ<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得

选项

答案设f′(a)>0,f′(b)>0, 由f′(a)>0,存在χ1∈(a,b),使得f(χ1)>f(a)=0; 由f′(6)>0,存在χ2∈(a,b),使得f(χ2)<f(b)=0, 因为f(χ1)f(χ2)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令h(χ)=[*],显然h(χ)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0, 存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0, [*] 令φ(χ)=f′(χ)g(χ)-f(χ)g′(χ),φ(ξ1)=φ(ξ2)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(χ)=f〞(χ)g(χ)-f(χ)g〞(χ), 所以[*]

解析
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