设矩阵的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

admin2018-12-19 59

问题设矩阵

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜=[*]=(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ²一8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=[*]。则A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=2代入λ²一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ²一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。

解析

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