2. 考研
  3. (2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(χ)dχ＝f(η)(b－a)； (Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫φ(χ)dχ，则至少存

(2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(χ)dχ＝f(η)(b－a)； (Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫φ(χ)dχ，则至少存

admin2016-05-30  56
问题 (2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理：若函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(χ)dχ＝f(η)(b－a)；
    (Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫φ(χ)dχ，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ〞(ξ)＜0．
选项
答案(Ⅰ)设M与m是连续函数f(χ)在[a，b]上的最大值与最小值，即 m≤f(χ)≤M，χ∈[a，b] 由定积分性质，有m(b－a)≤∫abf(χ)dχ≤M(b－a) 即m≤[*]f(χ)dχ≤M 由连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a,b]，使得f(η)＝[*]f(χ)dχ， 即∫abf(χ)dχ＝f(η)(b－a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23φ(χ)dχ＝φ(η)(3－2)＝φ(n) 又由φ(2)＞∫23φ(χ)dχ＝φ(η)知，2＜η≤3． 对φ(χ)在[1，2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)，得 [*] 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ′(χ)应用拉格朗日中值定理，有 [*]
解析
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考研数学二

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