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(2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(χ)dχ=f(η)(b-a); (Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫φ(χ)dχ,则至少存
(2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫abf(χ)dχ=f(η)(b-a); (Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫φ(χ)dχ,则至少存
admin
2016-05-30
63
问题
(2008年)(Ⅰ)证明积分中值定理:若函数f(χ)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫
a
b
f(χ)dχ=f(η)(b-a);
(Ⅱ)若函数φ(χ)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫φ(χ)dχ,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ〞(ξ)<0.
选项
答案
(Ⅰ)设M与m是连续函数f(χ)在[a,b]上的最大值与最小值,即 m≤f(χ)≤M,χ∈[a,b] 由定积分性质,有m(b-a)≤∫
a
b
f(χ)dχ≤M(b-a) 即m≤[*]f(χ)dχ≤M 由连续函数介值定理,至少存在一点η∈[a,b],使得f(η)=[*]f(χ)dχ, 即∫
a
b
f(χ)dχ=f(η)(b-a) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
φ(χ)dχ=φ(η)(3-2)=φ(n) 又由φ(2)>∫
2
3
φ(χ)dχ=φ(η)知,2<η≤3. 对φ(χ)在[1,2]和[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到φ(1)<φ(2),φ(η)<φ(2),得 [*] 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ′(χ)应用拉格朗日中值定理,有 [*]
解析
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考研数学二
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