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假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0.
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0.
admin
2022-09-05
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问题
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0.
选项
答案
用反证法. 若存在点c∈(a,b) ,使g(c)=0,则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别用罗尔定理,知存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使g’(ξ
1
)=g’(ξ
2
)=0. 再对g’(x)在[5,6]上应用罗尔定理,知存在ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
),使g"(ξ
3
)=0.这与题设g"(x)≠0矛盾.故在(a,b)内g(x)≠0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IuR4777K
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考研数学三
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