假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0.

admin2022-09-05 91

问题假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0.

选项

答案用反证法. 若存在点c∈(a,b) ,使g(c)=0,则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别用罗尔定理,知存在ξ₁∈(a,c),ξ₂∈(c,b),使g’(ξ₁)=g’(ξ₂)=0. 再对g’(x)在[5,6]上应用罗尔定理,知存在ξ₃∈(ξ₁，ξ₂),使g"(ξ₃)=0.这与题设g"(x)≠0矛盾.故在(a,b)内g(x)≠0.

解析

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