2. 考研
  3. 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0.

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0.

admin2022-09-05  92
问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0.
选项
答案用反证法. 若存在点c∈(a,b) ,使g(c)=0,则对g(x)在[a,c]和[c,b]上分别用罗尔定理,知存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使g’(ξ1)=g’(ξ2)=0. 再对g’(x)在[5,6]上应用罗尔定理,知存在ξ3∈(ξ1，ξ2),使g"(ξ3)=0.这与题设g"(x)≠0矛盾.故在(a,b)内g(x)≠0.
解析
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考研数学三

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