2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0．证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．

设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0．证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．

admin2018-07-23  57
问题 设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0．证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，有Fˊ(x)=f(x)，F(0)=0，F(1)=0，则 0=∫01exf(x)dx=∫01exdF(x)=exF(x)| 01－∫01F(x)exdx =－∫01F(x)exdx 所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)eξ=0．但eξ≠0，所以F(ξ)=0．由于已有 F(0)=0，F(1)=0． 所以根据罗尔定理知，存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使 Fˊ(ξ1)=0，Fˊ(ξ2)=0． 即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，其中ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，证毕．
解析
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考研数学二

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