设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01exf(x)dx=0．证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ1与ξ2，使f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．

admin2018-07-23 97

问题设f(x)在闭区间[0，1]上连续，且∫₀¹f(x)dx=0，∫₀¹e^xf(x)dx=0．证明在开区间(0，1)内存在两个不同的ξ₁与ξ₂，使f(ξ₁)=0，f(ξ₂)=0．

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，有Fˊ(x)=f(x)，F(0)=0，F(1)=0，则 0=∫₀¹e^xf(x)dx=∫₀¹e^xdF(x)=e^xF(x)| ₀¹－∫₀¹F(x)e^xdx =－∫₀¹F(x)e^xdx 所以存在ξ∈(0，1)，使F(ξ)e^ξ=0．但e^ξ≠0，所以F(ξ)=0．由于已有 F(0)=0，F(1)=0．所以根据罗尔定理知，存在ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，1)，使 Fˊ(ξ₁)=0，Fˊ(ξ₂)=0．即f(ξ₁)=0，f(ξ₂)=0，其中ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，1)，证毕．

解析

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考研数学二

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