设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01exf(x)dx=0.证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2,使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.

admin2018-07-23  47

问题 设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01exf(x)dx=0.证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2,使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,有Fˊ(x)=f(x),F(0)=0,F(1)=0,则 0=∫01exf(x)dx=∫01exdF(x)=exF(x)| 01-∫01F(x)exdx =-∫01F(x)exdx 所以存在ξ∈(0,1),使F(ξ)eξ=0.但eξ≠0,所以F(ξ)=0.由于已有 F(0)=0,F(1)=0. 所以根据罗尔定理知,存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,1),使 Fˊ(ξ1)=0,Fˊ(ξ2)=0. 即f(ξ1)=0,f(ξ2)=0,其中ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,1),证毕.

解析
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