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已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,C不全为零,矩阵(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,C不全为零,矩阵(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
admin
2018-11-11
102
问题
已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,C不全为零,矩阵
(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.
选项
答案
由于AB=O,故r(A)+r(B)≤3,又由a,b,c不全为零,可知r(A)≥1.当k≠9时,r(B)=2,于是r(A)=1;当k=9时,r(B)=1,于是r(A)=1或r(A)=2. 对于k≠9,由AB=O可得[*] 由于η
1
=(1,2,3)
T
,η
2
=(3,6,k)
T
线性无关,故η
1
,η
2
为Ax=0的一个基础解系,于是Ax=0的通解为x=x
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数. 对于k=9,分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论.如果r(A)=2,则Ax=0的基础解系由一个向量构成. 又因为[*] 所以Ax=0的通解为x=c
1
(1,2,3)
T
,其中c
1
为任意常数.如果r(A)=1,则Ax=0的基础解系由两个向量构成. 又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零,所以Ax=0等价于ax
1
+bx
2
+cx
3
=0,不妨设a≠0,η
1
=(一b,a,0)
T
,η
2
=(一c,0,a)
T
是Ax=0的两个线性无关的解,故Ax=0的通解为x=c
4
η
4
+c
5
η
5
,其中c
4
,c
5
为任意常数.
解析
本题考查抽象齐次线性方程组的求解问题.主要是将矩阵方程转化成线性方程组.
并注意运用AB=O,则r(A)+r(B)≤n.未知数的个数(n)一系数矩阵的秩r(A)=基础解系解向量的个数.齐次线性方程组通解的结构,若Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=r,则通解x=k
1
ξ
1
+…+k
2
ξ
2
…k
n-r
ξ
n-r
….
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