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设方阵A满足A2一A一2层=0,证明A及A+2E都可逆,并求A一1及(A+2E)一1.
设方阵A满足A2一A一2层=0,证明A及A+2E都可逆,并求A一1及(A+2E)一1.
admin
2016-03-05
69
问题
设方阵A满足A
2
一A一2层=0,证明A及A+2E都可逆,并求A
一1
及(A+2E)
一1
.
选项
答案
由A
2
一A一2E=0,得A(A—E)=2E.两端同时取行列式|A(A—E) |=2,即|A||A—E|=2,故|A|≠0,所以A可逆.而由A
2
一A一2E=0可得A+2E=A
2
,两端同时取行列式|A+2E|=|A
2
|=|A|
2
≠0,所以A+2E也可逆.由A(A—E)=2E,得[*]又A
2
一A一2E=0,通过添加项并整理可得(A+2E)(A一3E)=一4E,则有 (A+2E)
-1
(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)
-1
,因此[*]
解析
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0
考研数学二
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