求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。

admin2021-01-19 63

问题求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。

选项

答案原方程可化为：[*]y=－1。所以 y=e^∫2／xdx[∫－e^{－∫2／xdx}dx+C]=x²([*]+C)=x+Cx²。由曲线方程y=x+Cx²与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形围绕x轴旋转一周的旋转体体积为V’(C)=∫₁²π(x+Cx²)²dx=π([*])。令V’(C)=π([*])=0，得C=－75／124。又V"’(C)=62／5π＞0，故C=－75／124为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 y(x)=x－[*]x²。

解析

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