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求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。
求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。
admin
2021-01-19
40
问题
求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。
选项
答案
原方程可化为:[*]y=-1。所以 y=e
∫2/xdx
[∫-e
-∫2/xdx
dx+C]=x
2
([*]+C)=x+Cx
2
。 由曲线方程y=x+Cx
2
与直线x=1,x=2及x轴所围成的平面图形围绕x轴旋转一周的旋转体体积为V’(C)=∫
1
2
π(x+Cx
2
)
2
dx=π([*])。 令V’(C)=π([*])=0,得C=-75/124。 又V"’(C)=62/5π>0,故C=-75/124为唯一极小值点,也是最小值点,于是得 y(x)=x-[*]x
2
。
解析
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0
考研数学二
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