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设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(χ)dχ-(b-a)f〞(ξ).
设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(χ)dχ-(b-a)f〞(ξ).
admin
2019-06-29
81
问题
设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(χ)dχ-(b-a)
f〞(ξ).
选项
答案
令F(χ)=∫
a
χ
(t)dt,则F′(χ)=f(χ),且F″′(χ)∈C[a,b].由泰勒公式得 [*] 其中ξ
2
∈[*] 两式相减,得F(b)-F(a)=(b-a)[*]. 因为f〞(χ)∈C[a,b],所以f〞(χ)∈C[ξ
1
,ξ
2
],由闭区间上连续函数最值定理,f〞(χ)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上取得最小和最大值,分别记为m,M,则有 m≤[*]≤M 再由闭区间上连续函数的介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得f〞(ξ)=[*],从而有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/z7V4777K
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考研数学二
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