设f〞(χ)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ－(b－a)f〞(ξ)．

admin2019-06-29 61

问题设f〞(χ)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫_a^bf(χ)dχ－(b－a)

f〞(ξ)．

选项

答案令F(χ)＝∫_a^χ(t)dt，则F′(χ)＝f(χ)，且F″′(χ)∈C[a，b]．由泰勒公式得 [*] 其中ξ₂∈[*] 两式相减，得F(b)－F(a)＝(b－a)[*]．因为f〞(χ)∈C[a，b]，所以f〞(χ)∈C[ξ₁，ξ₂]，由闭区间上连续函数最值定理，f〞(χ)在区间[ξ₁，ξ₂]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有 m≤[*]≤M 再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](a，b)，使得f〞(ξ)＝[*]，从而有 [*]

解析

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