已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．

admin2018-06-27 75

问题已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)²f(x)，证明

使得F’’(x₀)=0．

选项

答案首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明[*]，使得F’’(x₀^*)=0即可．显然F(0)=[*]=0，于是由罗尔定理知，[*]，使得F’(x₁)=0．又 F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)²f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x₀^*∈[*]，使得F’’(x₀^*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]x₀=2π+x₀^*，即x₀∈[*]，使得 F’’(x₀)=F’’(x₀^*)=0．

解析

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考研数学二

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已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．

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