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A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解,P是M阶可逆矩阵,证明:矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系.
A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解,P是M阶可逆矩阵,证明:矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系.
admin
2017-06-14
31
问题
A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BB
T
=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解,P是M阶可逆矩阵,证明:矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系.
选项
答案
由r(B)≥r(BB
T
)=r(E)=m,得到r(B)=m.于是B的行向量组线性无关,且n-r(A)=m. 根据题设,B的行向量是Ax=0的解,知AB
T
=0.于是 A(PB)
T
=AB
T
P
T
=0P
T
=0. 因此,PB的m个行向量是Ax=0的解.又矩阵P可逆,于是r(PB)=r(B)=m,从而PB的行向量线性无关,所以PB的行向量是Ax=0的基础解系. 检验一组向量α
1
,α
2
,…,α
s
是否为A
m×n
x=0的基础解系,只需检验:(1)α
1
,α
2
,…,α
s
为Ax=0的解;(2)α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关;(3)s=n-r(A).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Jdu4777K
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考研数学一
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