A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解,P是M阶可逆矩阵,证明:矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系.

admin2017-06-14  30

问题 A和B均是m×n矩阵,秩r(A)+r(B)=n,若BBT=E且B的行向量是齐次方程组AX=0的解,P是M阶可逆矩阵,证明:矩阵pb的行向量是Ax=0的基础解系.

选项

答案由r(B)≥r(BBT)=r(E)=m,得到r(B)=m.于是B的行向量组线性无关,且n-r(A)=m. 根据题设,B的行向量是Ax=0的解,知ABT=0.于是 A(PB)T=ABTPT=0PT=0. 因此,PB的m个行向量是Ax=0的解.又矩阵P可逆,于是r(PB)=r(B)=m,从而PB的行向量线性无关,所以PB的行向量是Ax=0的基础解系. 检验一组向量α1,α2,…,αs是否为Am×nx=0的基础解系,只需检验:(1)α1,α2,…,αs为Ax=0的解;(2)α1,α2,…,αs线性无关;(3)s=n-r(A).

解析
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