设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)=0，f’’(x)＜0．求证：在(0，a]单调下降．

admin2018-06-27 39

问题设f(x)在[0，a]二次可导且f(0)=0，f’’(x)＜0．求证：

在(0，a]单调下降．

选项

答案要证[*]在(0，a]单调下降，只需证明导数[*]为此令 F(x)=xf’(x)-f(x)，则只需证F(x)＜0([*]∈(0，a])．对F(x)求导得F’(x)=xf’’(x)＜0 ([*]∈(0，a])．又F(0)=0，则F(x)＜0([*]∈(0，a])，即xf’(x)-f(x)＜0(0＜x≤a)．

解析

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