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设fn(x)=x﹢x2﹢…﹢xn-1(n=2,3,…). (I)证明方程fn(x)=0在区间[0,﹢∞)内存在唯一的实根,记为xn; (Ⅱ)求(I)中的{xn)的极限值.
设fn(x)=x﹢x2﹢…﹢xn-1(n=2,3,…). (I)证明方程fn(x)=0在区间[0,﹢∞)内存在唯一的实根,记为xn; (Ⅱ)求(I)中的{xn)的极限值.
admin
2019-06-29
58
问题
设f
n
(x)=x﹢x
2
﹢…﹢x
n-1
(n=2,3,…).
(I)证明方程f
n
(x)=0在区间[0,﹢∞)内存在唯一的实根,记为x
n
;
(Ⅱ)求(I)中的{x
n
)的极限值
.
选项
答案
(I)由f
n
(0)=-1﹤0,f
n
(1)=n-1>0,n=2,3,…,所以f
n
(x)=0在区间(0,1)内存在实根,记为x
n
. 以下证在区间(0,﹢∞)内至多存在一个实根.事实上, f
n
’
(x)=1﹢2x﹢3x﹢…﹢nx
n-1
﹥0,x∈(0,﹢∞). 所以在区间(0,﹢∞)内f
n
(x)=0至多存在一个实根.结合以上讨论至少一个至多一个,所以f
n
(x)=0在区间(0,﹢∞)内存在唯一的实根,且在区间(0,1)内.记此根为x
n
(n=2,3,…). (Ⅱ)欲求[*],先证其存在,为此,证{x
n
}单调减少. 0=f
n
(x
n
)-f
n﹢1
(x
n﹢1
) =(
n
﹢
n
2
﹢…﹢x
n
n
)-(
n﹢1
﹢
n﹢1
2
﹢…﹢x
n﹢1
n
﹢x
n﹢1
n﹢1
) =(x
n
-x
n﹢1
)[1﹢(x
n
﹢
n﹢1
)﹢…﹢(x
n
n-1
﹢x
n
n-2
x
n﹢1
﹢…﹢x
n﹢1
n-1
]-x
n﹢1
n-1
. 由[ ]内为正,等号左边为0,所以x
n
-x
n﹢1
﹥0(n=2,3,…),不然上面等号右边为负,与左边为零矛盾.于是知{x
n
}随n增加而严格单调减少,且有下界(x
n
﹥0).所以 [*] 另一方面,由x
n
﹤x
2
﹤1(n>2),所以0﹤x
n
n
﹤x
2
n
. 但0﹤x
2
﹤1,由夹逼定理知[*]=0. 由0=f
n
(x
n
)=x
n
﹢x
n
2
﹢…﹢x
n
n
-1 [*]
解析
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考研数学二
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