2. 考研
  3. 设fn(x)＝x﹢x2﹢…﹢xn－1(n＝2，3，…)． (I)证明方程fn(x)＝0在区间[0，﹢∞)内存在唯一的实根，记为xn； (Ⅱ)求(I)中的{xn)的极限值．

设fn(x)＝x﹢x2﹢…﹢xn－1(n＝2，3，…)． (I)证明方程fn(x)＝0在区间[0，﹢∞)内存在唯一的实根，记为xn； (Ⅱ)求(I)中的{xn)的极限值．

admin2019-06-29  57
问题 设fn(x)＝x﹢x2﹢…﹢xn－1(n＝2，3，…)．
(I)证明方程fn(x)＝0在区间[0，﹢∞)内存在唯一的实根，记为xn；
(Ⅱ)求(I)中的{xn)的极限值．
选项
答案(I)由fn(0)＝－1﹤0，fn(1)＝n－1>0，n＝2，3，…，所以fn(x)＝0在区间(0，1)内存在实根，记为xn． 以下证在区间(0，﹢∞)内至多存在一个实根．事实上， fn’(x)＝1﹢2x﹢3x﹢…﹢nxn－1﹥0，x∈(0，﹢∞)． 所以在区间(0，﹢∞)内fn(x)＝0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以fn(x)＝0在区间(0，﹢∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为xn(n＝2，3，…)． (Ⅱ)欲求[*]，先证其存在，为此，证{xn}单调减少． 0＝fn(xn)－fn﹢1(xn﹢1) ＝(n﹢n2﹢…﹢xnn)－(n﹢1﹢n﹢12﹢…﹢xn﹢1n﹢xn﹢1n﹢1) ＝(xn－xn﹢1)[1﹢(xn﹢n﹢1)﹢…﹢(xnn－1﹢xnn－2xn﹢1﹢…﹢xn﹢1n－1]－xn﹢1n－1． 由[ ]内为正，等号左边为0，所以xn－xn﹢1﹥0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{xn}随n增加而严格单调减少，且有下界(xn﹥0)．所以 [*] 另一方面，由xn﹤x2﹤1(n>2)，所以0﹤xnn﹤x2n． 但0﹤x2﹤1，由夹逼定理知[*]＝0． 由0＝fn(xn)＝xn﹢xn2﹢…﹢xnn－1 [*]
解析
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考研数学二

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