设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．

admin2018-05-23 25

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫_ξ^bg(x)dx=g(ξ)∫_a^ξf(x)dx．

选项

答案令φ(x)=∫_a^xf(t)dt∫_b^xg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ^’(ξ)=0，而φ^’(x)=f(x)∫_b^xg(t)dt＋g(x)∫_a^xf(t)dt，所以f(ξ)∫_b^ξg(x)dx+g(ξ)∫_a^ξf(x)dx=0，即f(ξ)∫_ξ^bg(x)dx=g(ξ)∫_a^ξf(x)dx．

解析由f(x)∫_x^bg(t)dt=g(x)∫_a^xf(t)dt得g(x) ∫_a^xf(t)dt+f(x)∫_b^xg(t)dt=0即∫_a^xf(t)dt∫_b^xg(t)dt=0，则辅助函数为φ(x)=∫_a^xf(t)dt∫_b^xg(t)dt．

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