设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且 Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝ 2ξ1－2ξ2－ξ3． (1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A*＋2E｜．

admin2018-01-23 33

问题设A为三阶矩阵，ξ₁，ξ₂，ξ₃是三维线性无关的列向量，且
Aξ₁＝－ξ₁＋2ξ₂＋2ξ₃，Aξ₂＝2ξ₁－ξ₂－2ξ₃，Aξ₃＝
2ξ₁－2ξ₂－ξ₃．
(1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A^*＋2E｜．

选项

答案(1)A(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)[*]因为ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，所以 (ξ₁，ξ₂，ξ₃)可逆，故A～[*]＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ＋5)(λ－1)²＝0，得A的特征值为－5，1，1． (2)因为｜A｜＝－5，所以A^*的特征值为1，－5，－5，故A^*＋2E的特征值为3，－3，－3．从而｜A^*＋2E｜＝27．

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且 Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝ 2ξ1－2ξ2－ξ3． (1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A*＋2E｜．

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