若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)0(x∈(0,1));

admin2014-02-05  33

问题 若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
f(x)>0(x∈(0,1));

选项

答案[*] 由题设条件及罗尔定理,[*]a∈(0,1),f(a)=0.由f’’(x)<0(x∈(0,1))→f(x)在(0,1)[*][*]→f(x)在[0,a][*],在[a,1][*]→f(x)>f(0)=0(0f(1)=0(a≤x<1)→f(x)>0(x∈(0,1)).

解析
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