2. 考研
  3. 已知线性方程组 的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记 αj=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5． 问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由； (2)α4能否由α1，α

已知线性方程组 的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记 αj=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5． 问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由； (2)α4能否由α1，α

admin2018-09-20  27
问题 已知线性方程组

的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记
    αj=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．
    问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由；
    (2)α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由．
选项
答案(1)α4能由α1，α2，α3，α5线性表出． 由线性非齐次方程组的通解[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T知 α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4，故 α4=一(k+2)α1+(k一1)α2—2kα3+α5． (2)α4不能由α1，α2，α3线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=4—1=3，且由对应齐次方程组的通解知，α1一α2+2α3=0，即α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，α3)＜3，若α4能由α1，α2，α3线性表出，则r(α4，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)＜3，这和r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，故α4不能由α1，α2，α3线性表出．
解析
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考研数学三

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