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设函数f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,f(2)=3,证明至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,f(2)=3,证明至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.
admin
2021-02-25
51
问题
设函数f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,f(2)=3,证明至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=0.
选项
答案
因为f(x)在[0,2]上连续,且f(1)<f(0)<f(2),由介值定理,存在一点x
0
∈(1,2),使f(x
0
)=f(0)=1,在 [0,x
0
]上,由罗尔定理,至少存在一点[*],使f’(ξ)=0.
解析
本题考查中值问题的证明.欲证f’(ξ)=0,相当于证方程f’(x)=0有根,因此考虑用罗尔定理,只需找到a,b∈[0,2],使f(a)=f(b),注意到f(1)<f(0)<f(2),由介值定理,可找到一点x
0
∈[1,2],使f(0)=f(x
0
),用罗尔定理得结论.
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考研数学二
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