2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0．

admin2021-02-25  42
问题 设函数f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3，证明至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0．
选项
答案因为f(x)在[0，2]上连续，且f(1)＜f(0)＜f(2)，由介值定理，存在一点x0∈(1，2)，使f(x0)=f(0)=1，在 [0，x0]上，由罗尔定理，至少存在一点[*]，使f’(ξ)=0．
解析 本题考查中值问题的证明．欲证f’(ξ)=0，相当于证方程f’(x)=0有根，因此考虑用罗尔定理，只需找到a，b∈[0，2]，使f(a)=f(b)，注意到f(1)＜f(0)＜f(2)，由介值定理，可找到一点x0∈[1，2]，使f(0)=f(x0)，用罗尔定理得结论．
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考研数学二

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