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[2016年] 设函数f(x)=∫01∣t2-x2∣dt(x>0),求f′(x),并求f(x)的最小值.
[2016年] 设函数f(x)=∫01∣t2-x2∣dt(x>0),求f′(x),并求f(x)的最小值.
admin
2019-04-05
63
问题
[2016年] 设函数f(x)=∫
0
1
∣t
2
-x
2
∣dt(x>0),求f′(x),并求f(x)的最小值.
选项
答案
f(x)为含参变量x的定积分,首先应根据参变量x取值的情况求出f(x) 的表示式,再求出f′(x),最后利用命题1.2.5.5求出f(x)的最小值. 由f(x)=∫
0
1
∣t
2
-x
2
∣dt(x>0)求出f(x)和f′(x)的分段表示式. 当 0<x<1时,f(x)=∫
0
1
∣t
2
-x
2
∣dt=∫
0
x
(x
2
一t
2
)dt+∫
x
1
(t
2
一x
2
)dt =x
3
一[*]x
3
+∫
x
1
t
2
dt一x
2
(1一x)=[*]x
3
一x
2
+[*], f′(x)=4x
2
一2x. 当x≥1时,f(x)=∫
0
1
∣t
2
-x
2
∣dt=∫
0
1
(x
2
一t
2
)dt=x
2
一[*], f′(x)=2x. 故[*] 当0<x<1时,令f′(x)=4x
2
一2x=0得x=[*]. 又f″(x)=8x一2,f″([*])=2>0,故x=[*]为0<x<1内的极小值点.又驻点x=[*]. 唯一,由命题1.2.5.5知x=[*]为0<x<1内的最小值点,且最小值为 [*] 当x≥1时,令f′(x)=2x=0,得x=0.因不满足题设的要求(x>0),舍去,故f(x)的最小值为[*].
解析
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0
考研数学二
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