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  3. [2016年] 设函数f(x)=∫01∣t2－x2∣dt(x＞0)，求f′(x)，并求f(x)的最小值．

[2016年] 设函数f(x)=∫01∣t2－x2∣dt(x＞0)，求f′(x)，并求f(x)的最小值．

admin2019-04-05  29
问题 [2016年]  设函数f(x)=∫01∣t2－x2∣dt(x＞0)，求f′(x)，并求f(x)的最小值．
选项
答案 f(x)为含参变量x的定积分，首先应根据参变量x取值的情况求出f(x) 的表示式，再求出f′(x)，最后利用命题1．2．5．5求出f(x)的最小值． 由f(x)=∫01∣t2－x2∣dt(x＞0)求出f(x)和f′(x)的分段表示式． 当 0＜x＜1时，f(x)=∫01∣t2－x2∣dt=∫0x(x2一t2)dt+∫x1(t2一x2)dt =x3一[*]x3+∫x1t2dt一x2(1一x)=[*]x3一x2+[*], f′(x)=4x2一2x． 当x≥1时，f(x)=∫01∣t2－x2∣dt=∫01(x2一t2)dt=x2一[*], f′(x)=2x． 故[*] 当0＜x＜1时，令f′(x)=4x2一2x=0得x=[*]. 又f″(x)=8x一2,f″([*])=2＞0，故x=[*]为0＜x＜1内的极小值点．又驻点x=[*]. 唯一，由命题1．2．5．5知x=[*]为0＜x＜1内的最小值点，且最小值为 [*] 当x≥1时，令f′(x)=2x=0，得x=0．因不满足题设的要求(x＞0)，舍去，故f(x)的最小值为[*].
解析
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考研数学二

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