[2016年] 设函数f(x)=∫01∣t2-x2∣dt(x>0),求f′(x),并求f(x)的最小值.

admin2019-04-05  25

问题 [2016年]  设函数f(x)=∫01∣t2-x2∣dt(x>0),求f′(x),并求f(x)的最小值.

选项

答案 f(x)为含参变量x的定积分,首先应根据参变量x取值的情况求出f(x) 的表示式,再求出f′(x),最后利用命题1.2.5.5求出f(x)的最小值. 由f(x)=∫01∣t2-x2∣dt(x>0)求出f(x)和f′(x)的分段表示式. 当 0<x<1时,f(x)=∫01∣t2-x2∣dt=∫0x(x2一t2)dt+∫x1(t2一x2)dt =x3一[*]x3+∫x1t2dt一x2(1一x)=[*]x3一x2+[*], f′(x)=4x2一2x. 当x≥1时,f(x)=∫01∣t2-x2∣dt=∫01(x2一t2)dt=x2一[*], f′(x)=2x. 故[*] 当0<x<1时,令f′(x)=4x2一2x=0得x=[*]. 又f″(x)=8x一2,f″([*])=2>0,故x=[*]为0<x<1内的极小值点.又驻点x=[*]. 唯一,由命题1.2.5.5知x=[*]为0<x<1内的最小值点,且最小值为 [*] 当x≥1时,令f′(x)=2x=0,得x=0.因不满足题设的要求(x>0),舍去,故f(x)的最小值为[*].

解析
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