　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

admin2014-11-26 97

问题　　设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂一2x₁x₃+2ax₂x₃(a＜0)通过正交变换化为标准形2y₁²+2y₂²+by₃²． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的最大值．

选项

答案(Ⅰ)令[*]则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．因为二次型经过正交变换化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b．由特征值的性质得[*]解得a=一1，b=一1． (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E—A)X=0，得[*]当λ₃=一1时，由(一E—A)X=0，得[*] [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以|X|=1时，|Y|=1，当|Y|=1时，二次型的最大值为2．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

考研数学一

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．

设A是3×3矩阵，β1，β2，β3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax=0的解，记B=[β1，β2，β3]，且满足r(AB)＜r(A)，r(AB)＜r(B)．则r(AB)等于()．

设函数f为[0，1]上的连续函数，且0≤f(x)＜1，利用二重积分证明不等式：

设f(x,y)为连续函数，且，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围成的区域，求f(x,y).

设f(t)为连续函数,则累次积分化为极坐标形式的累次积分为()．

微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()．

设I(a)=，其中D由直线x=a,x=0,y=a,y=—a及x2+y2=ax(a＞0)所围成，计算I(a).

设A，B，C为常数，AC—B2＜0，A≠0，u(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2为常数)，将方程

设z=f(e2t，sin2t)，其中f二阶连续可偏导，则d2z/dt2=________．

在信息安全领域，基本的安全性原则包括保密性(Confidentiality)、完整性(integrity)和可用性(Availability)。保密性指保护信息在使用、传输和存储时_①___。信息加密是保证系统保密性的常用手段。使用哈希校验是保证数

中度缺氧病人的动脉血氧分压低于

施工合同双方当事人对合同是否可撤销发生争议，可向(　　)请求撤销合同。

职能战略的目的是()。

东兴公司2016年8月主营业务收入200万元，主营业务成本150万元，管理费用8万元，公允价值变动收益3万元，资产减值损失1万元，投资收益7万元，营业外收入6万元。假定不考虑其他因素，该企业当月的营业利润为()万元。

在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列及数学期望．

根据下列图表，回答下列问题。2009年上半年中部地区主要经济指标2009年上半年，城镇固定资产投资和城镇居民人均可支配收入均居同一位的省份有几

ThemakingofWestSumatradishrendang

A、$15.B、$25.C、$40.D、$45.C对话中男士介绍参加一天会议的注册费是15美金，如果三天都参加则为40美金，女士表示自己三天的会议都要参加，因此她应该支付40美金的注册费，本题选C。

NOCASH,NOPROBLEMAstechnologycontinuestodevelop,peoplearechangingthewaytheypayforthings.Manyofushavea

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设函数f为[0，1]上的连续函数，且0≤f(x)＜1，利用二重积分证明不等式：

设f(x,y)为连续函数，且，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围成的区域，求f(x,y).

设f(t)为连续函数,则累次积分化为极坐标形式的累次积分为()．

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设I(a)=，其中D由直线x=a,x=0,y=a,y=—a及x2+y2=ax(a＞0)所围成，计算I(a).

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设z=f(e2t，sin2t)，其中f二阶连续可偏导，则d2z/dt2=________．

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东兴公司2016年8月主营业务收入200万元，主营业务成本150万元，管理费用8万元，公允价值变动收益3万元，资产减值损失1万元，投资收益7万元，营业外收入6万元。假定不考虑其他因素，该企业当月的营业利润为()万元。

在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列及数学期望．

根据下列图表，回答下列问题。2009年上半年中部地区主要经济指标2009年上半年，城镇固定资产投资和城镇居民人均可支配收入均居同一位的省份有几

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A、$15.B、$25.C、$40.D、$45.C对话中男士介绍参加一天会议的注册费是15美金，如果三天都参加则为40美金，女士表示自己三天的会议都要参加，因此她应该支付40美金的注册费，本题选C。

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　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

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施工合同双方当事人对合同是否可撤销发生争议，可向(　　)请求撤销合同。