　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

admin2014-11-26 87

问题　　设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂一2x₁x₃+2ax₂x₃(a＜0)通过正交变换化为标准形2y₁²+2y₂²+by₃²． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的最大值．

选项

答案(Ⅰ)令[*]则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．因为二次型经过正交变换化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b．由特征值的性质得[*]解得a=一1，b=一1． (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E—A)X=0，得[*]当λ₃=一1时，由(一E—A)X=0，得[*] [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以|X|=1时，|Y|=1，当|Y|=1时，二次型的最大值为2．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

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