2. 考研
  3. 　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的

admin2014-11-26  26
问题 　　设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．    (Ⅰ)求常数a，b；    (Ⅱ)求正交变换矩阵；    (Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的最大值．
选项
答案(Ⅰ)令[*]则f(x1，x2，x3)=XTAX．因为二次型经过正交变换化为2y12+2y22+by32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=b．由特征值的性质得[*]解得a=一1，b=一1． (Ⅱ)当λ1=λ2=2时，由(2E—A)X=0，得[*]当λ3=一1时，由(一E—A)X=0，得[*] [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以|X|=1时，|Y|=1，当|Y|=1时，二次型的最大值为2．
解析
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考研数学一

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