2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解； ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A

设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题： ①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解； ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A

admin2014-01-26  26
问题 设有齐次线性方程组Ax＝0和Ax＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：
    ①若Ax＝0的解均是Ax＝0的解，则r(A)≥r(B)；
    ②若r(A)≥r(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；
    ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则r(A)＝r(B)；
    ④若r(A)＝r(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．
    以上命题正确的是
选项 A、①②．   
B、①③．   
C、②④．   
D、③④．  
答案B
解析 [分析]  本题也可找反例用排除法进行分析，但①和②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项．
    [详解]  若Ax＝0与Bx＝0同解，则n－r(A)＝n－r(B)，即r(A)＝r(B)，命题③成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若r(A)＝r(B)，则不能推出Ax＝0与Ax＝0同解，如，则r(A)＝r(B)＝1，但Ax＝0与Bx＝0与Bx＝0不同解，可见命题④不成立，排除(D)，故应选(B)．
    [评注]  Ax＝0与Bx＝0同解的充要条件是A，B的行向量组等价．
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考研数学二

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