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设A为n阶实对称矩阵,且A2A=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________
设A为n阶实对称矩阵,且A2A=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________
admin
2022-06-09
49
问题
设A为n阶实对称矩阵,且A
2
A=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________
选项
答案
(-1)
n
2
n-r
解析
设Aa=λa(a≠0),则λ为A的任一特征值,a为其对应的特征向量,
由A
2
=A,有(A
2
-A)=0,即(λ
2
-λ)a=0,故A的特征值为0或1,
又由于A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=A,且r(A)=r(A)=r,所以1是A的r重特征值,0是A的n-r重特征值,故
|A-2E|=|PAP
-1
-2E|=|P(A-2E)P
-1
|
=|P||A-2E||P
-1
|
=|A-2E|=(-1)
n
2
n-r
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考研数学二
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