设A为n阶实对称矩阵，且A2A＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)，则行列式｜A－2E｜＝________

admin2022-06-09 73

问题设A为n阶实对称矩阵，且A²A＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)，则行列式｜A－2E｜＝________

选项

答案(-1)ⁿ2^n-r

解析设Aa＝λa(a≠0)，则λ为A的任一特征值，a为其对应的特征向量，
由A²＝A，有(A²－A)＝0，即(λ²－λ)a＝0，故A的特征值为0或1，
又由于A是实对称矩阵，故存在可逆矩阵P，使P^-1AP＝A，且r(A)＝r(A)＝r，所以1是A的r重特征值，0是A的n－r重特征值，故
｜A－2E｜＝｜PAP^-1－2E｜＝｜P(A－2E)P^-1｜
＝｜P｜｜A－2E｜｜P^-1｜
＝｜A－2E｜＝(－1)ⁿ2^n-r

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