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(2001年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
(2001年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
admin
2018-03-11
69
问题
(2001年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程
(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
选项
答案
[*]所以侧面在xOy面上的投影为: [*] 记V为雪堆体积,S为雪堆的侧面积,则由体积公式 [*] 化为极坐标,令x=rcosθ,y=rsinθ,[*] [*] 再由侧面积公式: [*] 化为极坐标,令x=rcosθ,y=rsinθ,[*] [*] 由题意知[*]将上述V(t)和S(t)代入,得 [*] 积分解得[*] 由h(0)=130,得C=130。所以[*]令h(t)=0,得t=100。 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时。
解析
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考研数学一
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