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(13年)设函数f(χ)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(χ)=2.证明: (Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ε∈(0.a),使得f′(ξ)=.
(13年)设函数f(χ)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(χ)=2.证明: (Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ε∈(0.a),使得f′(ξ)=.
admin
2017-05-26
22
问题
(13年)设函数f(χ)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且
f(χ)=2.证明:
(Ⅰ)存在a>0,使得f(a)=1;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的a,存在ε∈(0.a),使得f′(ξ)=
.
选项
答案
(Ⅰ)因为[*]f(χ)=2,所以存在χ
0
>0,使得f(χ
0
)>1. 因为f(χ)在[0,+∞]上可导,所以f(χ)在[0,+∞)上连续. 又f(0)=0,根据连续函数的介值定理,存在a∈(0,χ
0
),使得f(a)=1. (Ⅱ)因为函数f(χ)在区间[0,a]上可导,根据微分中值定理,存在ξ∈(0,a),使得f(a)-f(0)=af′(ξ). 又因为f(0)=0,f(a)=1,所以f′(ξ)=[*].
解析
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考研数学三
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