(13年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且f(χ)＝2．证明： (Ⅰ)存在a＞0，使得f(a)＝1； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ε∈(0．a)，使得f′(ξ)＝．

admin2017-05-26 54

问题 (13年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且

f(χ)＝2．证明：
(Ⅰ)存在a＞0，使得f(a)＝1；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ε∈(0．a)，使得f′(ξ)＝

．

选项

答案(Ⅰ)因为[*]f(χ)＝2，所以存在χ₀＞0，使得f(χ₀)＞1．因为f(χ)在[0，＋∞]上可导，所以f(χ)在[0，＋∞)上连续．又f(0)＝0，根据连续函数的介值定理，存在a∈(0，χ₀)，使得f(a)＝1． (Ⅱ)因为函数f(χ)在区间[0，a]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，a)，使得f(a)－f(0)＝af′(ξ)．又因为f(0)＝0，f(a)＝1，所以f′(ξ)＝[*]．

解析

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考研数学三

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