(1999年试题,九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.通过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯:形面积

admin2021-01-19  30

问题 (1999年试题,九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y(x)>0,y(0)=1.通过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯:形面积记为S2,并设2S1一S2恒为1,求此曲线),=y(x)的方程.

选项

答案由题设,曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为y一y=y(x)(X一x),它与x轴的交点为[*].从而[*]又由已知,[*].由条件2S1一S2=1知[*]将上式两边对x求导并化简得yy’’=y’2.令p=y代入上式,则[*],分离变量得[*],积分解得p=C1y,因此[*],于是y=eC1x+C2;又由y(0)=1,y(0)=1,可得C1=1,C2=0,所以所求曲线的方程是y=ex.问题.

解析 本题是一道综合题,涉及切线问题、平面图形的面积公式、含变限积分的函数方程和微分方程问题,该题没有直接给出含变限积分的函数方程,而是由变化区间[0,x]上的面积用变限积分来表示,同样,以后在求变化区间上的体积、弧长等的时候,均可以转化为含有变限积分的函数方程
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