(1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积

admin2021-01-19 42

问题 (1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y^’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线)，=y(x)的方程．

选项

答案由题设，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为y一y=y^’(x)(X一x)，它与x轴的交点为[*]．从而[*]又由已知，[*]．由条件2S₁一S₂=1知[*]将上式两边对x求导并化简得yy^’’=y^’2．令p=y^’代入上式，则[*]，分离变量得[*]，积分解得p=C₁y，因此[*]，于是y=e^C₁x+C₂；又由y(0)=1，y^’(0)=1，可得C₁=1，C₂=0，所以所求曲线的方程是y=e^x．问题．

解析本题是一道综合题，涉及切线问题、平面图形的面积公式、含变限积分的函数方程和微分方程问题，该题没有直接给出含变限积分的函数方程，而是由变化区间[0，x]上的面积用变限积分

来表示，同样，以后在求变化区间上的体积、弧长等的时候，均可以转化为含有变限积分的函数方程

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考研数学二

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(1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积

考研数学二

f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"’(ξ)=3．

曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为1／12，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕X轴旋转一周所成立体的体积．

设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(a)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)

级数(a为常数)收敛的充分条件是[]．

若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是________．

求分别满足下列关系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)为连续函数；2)f’(x)+xf’(一x)=x．

设有向量组(I)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α1＝(1，－1，a＋2)T和向量组(II)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值

(1989年)求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(0＜χ＜＋∞)满足y(1)＝0的解．

(97年)设F(x)=∫xx+2πsintsintdt，则F(x)

关于脑垂体的叙述，正确的是

不合法的原始凭证是指原始凭证表述的事项与实际经济业务不符。()

虽然小明的期末测验成绩不高，但与期中相比有所提高，老师仍颁给他“学习进步奖”。这种评价属于()。

设函数=f(x)=+|x－a|(a＞0)．若f(3)＜5，求a的取值范围．

某地级市人大制定《推进生态文明城市建设条例》，行使了地方立法权。()

行使管制权的主体是乡级以上人民政府的公安机关。(　　)

设圆盘x2＋y2≤2ax内各点处的面密度与该点到坐标原点的距离成正比，试求该圆盘的重心．

(1)将考生文件夹下WIN文件夹中的文件WORK更名为PLAY。(2)在考生文件夹下创建文件夹GOOD，并设置属性为隐藏。(3)在考生文件夹下WIN文件夹中新建一个文件夹BOOK。(4)将考生文件夹下DAY文件夹中的文件WORK.DOC移动到考生文件

PersonalDetailsFamilyname:PetersAddress:7【L4】_______Crescent,MountLawleyPhonenumber:

Don’tletvacationsorbusinesstravelsideline(使退出)yourexerciseroutine.Physicalactivityisagreatwayto【C1】______stress

(1999年试题，九)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．通过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积

考研数学二

f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"’(ξ)=3．

曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为1／12，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕X轴旋转一周所成立体的体积．

设f(x)在(a，b)内可导，证明：，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(a)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)

级数(a为常数)收敛的充分条件是[]．

若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是________．

求分别满足下列关系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)为连续函数；2)f’(x)+xf’(一x)=x．

设有向量组(I)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α1＝(1，－1，a＋2)T和向量组(II)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值

(1989年)求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(0＜χ＜＋∞)满足y(1)＝0的解．

(97年)设F(x)=∫xx+2πsintsintdt，则F(x)

关于脑垂体的叙述，正确的是

不合法的原始凭证是指原始凭证表述的事项与实际经济业务不符。()

虽然小明的期末测验成绩不高，但与期中相比有所提高，老师仍颁给他“学习进步奖”。这种评价属于()。

设函数=f(x)=+|x－a|(a＞0)．若f(3)＜5，求a的取值范围．

某地级市人大制定《推进生态文明城市建设条例》，行使了地方立法权。()

行使管制权的主体是乡级以上人民政府的公安机关。( )

设圆盘x2＋y2≤2ax内各点处的面密度与该点到坐标原点的距离成正比，试求该圆盘的重心．

(1)将考生文件夹下WIN文件夹中的文件WORK更名为PLAY。(2)在考生文件夹下创建文件夹GOOD，并设置属性为隐藏。(3)在考生文件夹下WIN文件夹中新建一个文件夹BOOK。(4)将考生文件夹下DAY文件夹中的文件WORK.DOC移动到考生文件

PersonalDetailsFamilyname:PetersAddress:7【L4】_______Crescent,MountLawleyPhonenumber:

Don’tletvacationsorbusinesstravelsideline(使退出)yourexerciseroutine.Physicalactivityisagreatwayto【C1】______stress

行使管制权的主体是乡级以上人民政府的公安机关。(　　)