若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tnf(x，y)， (7．12) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数

admin2018-06-27 103

问题若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tⁿf(x，y)， (7．12)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数

选项

答案设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=tⁿf(x，y)[*]为恒等式．将该式两端对t求导，得 xf’₁(tx，ty)+yf’₂(tx，ty)=nt^n-1f(x，y)[*]，令t=1，则 xf’_x(x，y)+yf’_y(x，y)=nf(x，y)．现设上式成立．考察φ(t)=[*]，由复合函数求导法则，可得 φ’(t)=[*][xf’₁(tx，ty)+yf’₂(tx，ty)]-[*]f(tx，ty) =[*][txf’₁(tx，ty)+tyf’₂(tx，ty)-nf(tx，ty)]=0，即φ(t)为常数，φ(t)=φ(1)=f(x，y)，即f(tx，ty)=tⁿf(x，y).

解析

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考研数学二

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