设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的3个解向量，且求该方程组的通解．

admin2020-06-05 27

问题设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η₁，η₂，η₃是它的3个解向量，且

求该方程组的通解．

选项

答案记该非齐次线性方程组为Ax＝b，它对应的齐次线性方程组为Ax＝0．根据齐次线性方程组的性质知，方程Ax＝0的基础解系所含向量个数为4－3＝1，即它的任一非零解都是它的一个基础解系．另一方面，记向量ξ＝2η₁－(η₂＋η₃)，则 Aξ＝A(2η₁－η₂－η₃)＝2Aη₁－Aη₂－Aη₃＝2b－b－b＝0 计算可得ξ＝(3，4，5，6)^T≠0．从而ξ就是方程Ax＝0的一个基础解系，根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为 x＝cξ＋η₁＝[*](c∈R)

解析

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考研数学一

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