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设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01exf(x)dx=0,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2,使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且∫01f(x)dx=0,∫01exf(x)dx=0,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ1与ξ2,使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.
admin
2018-12-21
49
问题
设f(x)在闭区间[0,1]上连续,且∫
0
1
f(x)dx=0,∫
0
1
e
x
f(x)dx=0,证明在开区间(0,1)内存在两个不同的ξ
1
与ξ
2
,使f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,有F
’
(x)=f(x),F(0)=0,F(1)=0,则0=∫
0
1
e
x
f(x)dx=∫
0
1
e
x
d[F(x)]=e
x
F(x)|
0
1
-∫
0
1
F(x)e
x
dx=-∫
0
1
>F(x)e
x
dx, 所以存在ξ∈(0,1),使F(ξ)e
ξ
=0.但e
ξ
≠0,所以F(ξ)=0.由于已有F(0)=0,F(1)=0, 所以根据罗尔定理知,存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
(ξ,1),使F
’
(ξ
1
)=0,F
’
(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,1),证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LAj4777K
0
考研数学二
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