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(2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Aχ=0的通解.
(2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=O,求线性方程组Aχ=0的通解.
admin
2016-05-30
102
问题
(2005年)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B=
(k为常数),且AB=O,求线性方程组Aχ=0的通解.
选项
答案
由AB=O知矩阵B的每一列都是方程组Aχ=0的解,因此Aχ=0必有非零解,要求其通解是要求出它的基础解系即可.而基础解系所含向量个数等于3-r(A),所以需要先确定A的秩,r(A). 由于AB=O,故r(A)+r(B)≤3,又由a,b,c不全为零,可知r(A)≥1. 当k≠9时,r(B)=2,于是r(A)=1; 当k=9时,r(B)=1,于是r(A)=1或r(A)=2. (1)当k≠9时,因r(A)=1,知Aχ=0的基础解系含2个向量.又由AB=O可得 [*] 由于η
1
=(1,2,3)
T
,η
2
=(3,6,k)
T
线性无关,故η
1
,η
2
为Aχ=0的一个基础解系,于是Aχ=0的通解为 χ=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数. (2)当k=9时,分别就r(A)=2和r(A)=1进行讨论. 如果r(A)=2,则Aχ=0的基础解系由一个向量构成.又因为A[*]=0,所以Aχ=0的通解为χ=c
1
(1,2,3)
T
,其中c
1
为任意常数. 如果r(A)=1,则Aχ=0的基础解系由两个向量构成.又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零,所以Aχ=0等价于aχ
1
+bχ
2
+cχ
3
=0.不妨设a≠0,则η
1
=(-b,a,0)
T
,η
2
=(-c,0,a)
T
是Aχ=0的两个线性无关的解,故Aχ=0的通解为 χ=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
1
为任意常数.
解析
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考研数学二
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