设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1。证明存在ξ≠η∈(0，1)，使得。

admin2015-11-16 44

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1。证明
存在ξ≠η∈(0，1)，使得

。

选项

答案在[0，c]及[c，1]上对f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得 [*] 于是[*]＝2c＋2(1－c)＝2，得证。

解析注意上面利用(1)的结论证明了(2)的结论，但(1)的结论也可由(2)的结论推出。
事实上，由

得到 2f²(c)－2cf(c)－f(c)＋c
＝f(c)[2f(c)－1]－c[2f(c)－1]
＝[f(c)－c][2f(c)－1]＝0。
因f(x)不一定满足f(x)＝x，故有2f(c)－1＝0，即f(c)＝1／2。

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