设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明 存在ξ≠η∈(0,1),使得。

admin2015-11-16  29

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1。证明
存在ξ≠η∈(0,1),使得

选项

答案在[0,c]及[c,1]上对f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到:存在ξ∈(0,c),η∈(c,1),使得 [*] 于是[*]=2c+2(1-c)=2,得证。

解析 注意  上面利用(1)的结论证明了(2)的结论,但(1)的结论也可由(2)的结论推出。
事实上,由

得到    2f2(c)-2cf(c)-f(c)+c
=f(c)[2f(c)-1]-c[2f(c)-1]
    =[f(c)-c][2f(c)-1]=0。
因f(x)不一定满足f(x)=x,故有2f(c)-1=0,即f(c)=1/2。
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