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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1。证明 存在ξ≠η∈(0，1)，使得。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1。证明 存在ξ≠η∈(0，1)，使得。

admin2015-11-16  37
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1。证明
存在ξ≠η∈(0，1)，使得。
选项
答案在[0，c]及[c，1]上对f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到：存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得 [*] 于是[*]＝2c＋2(1－c)＝2，得证。
解析 注意  上面利用(1)的结论证明了(2)的结论，但(1)的结论也可由(2)的结论推出。
事实上，由

得到    2f2(c)－2cf(c)－f(c)＋c
＝f(c)[2f(c)－1]－c[2f(c)－1]
    ＝[f(c)－c][2f(c)－1]＝0。
因f(x)不一定满足f(x)＝x，故有2f(c)－1＝0，即f(c)＝1／2。
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考研数学一

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